ΤΟ ΔΙΑΣΗΜΟΤΕΡΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Παρόλο που ήταν ήδη γνωστό εμπειρικά στους Βαβυλώνιους 2000 χρόνια π.Χ, την πρώτη γενική απόδειξη του θεωρήματος θεωρείται ότι την έδωσε ο Πυθαγόρας. Το πυθαγόρειο θεώρημα που έχει αποδειχθεί με τόσους πολλούς τρόπους όσο κανένα άλλο θεώρημα, προκάλεσε μια από τις πρώτες κρίσεις στα Μαθηματικά, κρίσεις οι οποίες επέτρεψαν την ανάπτυξή τους και έγινε η αιτία να ανακαλυφθούν οι άρρητοι αριθμοί. Η ενασχόληση αργότερα του Fermat με τις πυθαγόρειες τριάδες και τη γενίκευση του θεωρήματος, έγινε αιτία να διατυπωθεί μια εικασία η οποία χρειάσθηκε 350 χρόνια για να αποδειχθεί και που η αναζήτηση μιας απόδειξής της συνεισέφερε στην ανάπτυξη μαθηματικών γνώσεων μεγάλης σπουδαιότητας.

Οι επισκέπτες εδώ καλούνται να επαληθεύσουν εμπειρικά το πυθαγόρειο θεώρημα και εν συνεχεία να κατανοήσουν την αποδεικτική αφαιρετική διαδικασία, από τα αξιώματα στα θεωρήματα. Επίσης καλούνται να κατανοήσουν εμπειρικά την εικασία του Fermat.


ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΔΙΑΔΡΟΜΩΝ - ΣΑΠΩΝΟΕΙΔΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

Η έννοια της βελτιστοποίησης με την έννοια της εύρεσης των ακρότατων τιμών που μπορεί να πάρει μια συνάρτηση είναι ιδιαίτερα σημαντική. Αποτελεί μαθηματικό υπόβαθρο ερμηνείας και ελέγχου πολλών φαινομένων και χρησιμοποιείται στη λύση πολλών προβλημάτων.

Ο Euler ισχυρίστηκε ότι «στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτα του οποίου η σημασία να μη συμπίπτει με την εύρεση κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου». Οι φυσικοί έχουν παρατηρήσει ότι όταν τα φυσικά συστήματα ισορροπούν, κάποια μεγέθη τους όπως η ενέργεια, τείνουν προς τις ελάχιστες τιμές τους.

Ο Βέλγος φυσικός Jozeph Plateau ανακάλυψε το 1861 ότι οι μεμβράνες που δημιουργούνται όταν μια συρμάτινη κλειστή καμπύλη βυθιστεί σε σαπωνοειδές διάλυμα, καταλαμβάνουν την ελάχιστη δυνατή επιφάνεια. Η συμπεριφορά αυτή των μεμβρανών προέρχεται από το γεγονός ότι προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν τη δυναμική τους ενέργεια.

Επειδή όμως αυτή είναι ανάλογη του εμβαδού τους παίρνουν το σχήμα με το μικρότερο δυνατό εμβαδόν μεταξύ όλων όσων έχουν το ίδιο περίγραμμα. Οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη και αν σχηματίσουμε με ένα σύρμα και την εμβαπτίσουμε στο σαπωνοειδές διάλυμα θα σχηματισθεί πάντα μια επιφάνεια.

Το μαθηματικό πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: υπάρχει για μια κλειστή καμπύλη τουλάχιστον μια ελάχιστη επιφάνεια; Η ανάλυση μιας τέτοιας ερώτησης οδηγεί στη μελέτη των ελαχίστων επιφανειών και είναι ένα πρόβλημα με σημαντικές εφαρμογές.

Οι επισκέπτες πειραματίζονται και προβληματίζονται προσπαθώντας να εξηγήσουν τα διάφορα σχήματα που προκύπτουν από τη βύθιση κατάλληλα επιλεγμένων κατασκευών σε σαπωνοειδές διάλυμα. Οι λεγόμενες σαπωνοειδείς επιφάνειες, υποβάλλουν το ερώτημα των ελάχιστων διαδρομών και υποδεικνύουν μια εμπειρική απάντηση.

ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ GALTON

Στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι η εισαγωγή στην κανονική κατανομή, ως οριακής μορφής της αντίστοιχης διακριτής δυωνυμικής, με τη βοήθεια του αλληλε-πιδραστικού εκθέματος γνωστού ως «τρίγωνο Galton» (Galton Board ή Quinqunxpc).

Οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής δίνονται ως απλές πληροφορίες, χωρίς καμία εξήγηση, για πρώτη φορά στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, στα Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Η προσπάθειά μας είναι να δώσουμε μια ευλογοφανή δικαιολόγηση αυτών των ιδιοτήτων χρησιμοποιώντας την προσέγγισή της από την δυωνυμική κατανομή χρησιμοποιώντας το «τρίγωνο του Galton».

Το θέμα μπορεί να παρουσιασθεί και σε μικρότερες τάξεις ως ένα ανεξάρτητο πρό-βλημα στις απλούστερες μορφές του, ανάλογα με το γνωστικό επίπεδο των μαθητών εγγράφοντας υποθήκες για την πλήρη μελέτη του στη Γ λυκείου η αργότερα στο Πανεπιστήμιο.

Στόχος αυτής της θεματικής ενότητας είναι η εισαγωγή των μαθητών στην ποικιλία των διαφόρων γεωμετρικών αξιωματικών θεωριών, θεωρώντας την Ευκλείδεια εκδοχή ως μια ειδική περίπτωση. Η γεωμετρία που διδάσκεται στο σχολείο, είναι η γεωμετρία του χώρου για την οποία ισχύουν τα αξιώματα του Ευκλείδη γι αυτό και λέγεται Ευκλείδεια.

Ο ίδιος ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί στα Στοιχεία του το 5ο αίτημα μετά τις 28 πρώτες προτάσεις και αυτό δίνει το έναυσμα σε μια σειρά μαθηματικών από πολύ νωρίς (Κλαύδιος Πτολεμαίος 150 π.Χ.) να προσπαθήσουν να το αποδείξουν. Μετά από άκαρπες προσπάθειες αιώνων, στο τέλος του 18ου και στις αρχές του 19ου αιώνα συμβαίνει ένα αξιοσημείωτο και επαναστατικό γεγονός: Το 5ο αίτημα δεν αποδεικνύεται, αλλά αντικαθίσταται από άλλο. Ανάλογα με την πρόταση που το αντικαθιστά χαρακτηρίζεται η νέα Γεωμετρία ως ελλειπτική ή υπερβολική και δημιουργούνται έτσι οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες.

Για περισσότερο από δύο χιλιάδες χρόνια κυριαρχούσε η αντίληψη, ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν απαραίτητα η γεωμετρία του χώρου. Με την ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών αποδείχθηκε ότι το Ευκλείδειο μοντέλο περιγράφει μόνο σε τοπικό επίπεδο το χώρο που μας περιβάλλει, ενώ για τη μελέτη του σύμπαντος είναι περισσότερο αποδεκτό το υπερβολικό μοντέλο.

Οι επισκέπτες με έναν καθαρά βιωματικό τρόπο μαθαίνουν τη λειτουργία και τους κανόνες διαφορετικών γεωμετρικών κόσμων, μη-Ευκλείδειων. Ανακαλύπτουν την ουσία της αξιωματικής μεθόδου και την έννοια της απόδειξης εκεί που η αλήθεια αντιβαίνει στη διαίσθηση.

Αναζητούν την ελάχιστη διαδρομή που συνδέει δυο σημεία της υδρογείου, ώστε να προβληματιστούν με την έννοια της ευθείας στην ελλειπτική γεωμετρία και να κατανοήσουν τη γεωδαιτική γραμμή της σφαιρικής γεωμετρίας αντίστοιχης της έννοιας της ευκλείδειας ευθείας. Διαπιστώνουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στην επιφάνεια μιας σφαίρας υπερβαίνει τις 180 μοίρες και κατανοούν την «τοπικότητα» της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη σφαιρική επιφάνεια.

Καλούνται να πειραματιστούν με το μοντέλο Poincare της υπερβολικής Γεωμετρίας. Χωρίζονται σε ομάδες των Ευκλείδειων και Μη-Ευκλείδειων Γεωμετρών, και επιχειρούν καθοδηγούμενοι, οι μεν πρώτοι να αποδείξουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες, ενώ οι υπόλοιποι να βρουν που αποτυγχάνει η ίδια απόδειξη σε μη ευκλείδεια επίπεδα, αντιλαμβανόμενοι έτσι ποιος είναι ο ρόλος του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη.

Στόχος αυτής της θεματικής ενότητας είναι η εξερεύνηση του κόσμου των fractals.Παρατηρώντας γύρω μας τον κόσμο που ζούμε, θα δούμε ότι δέντρα, βουνά, ακτές, σύννεφα, χιονονιφάδες, και άλλα πολλά αντικείμενα έχουν μορφή (αλλά και δομή) εξαιρετικά πολύπλοκη και ακανόνιστη, τέτοια ώστε για την περιγραφή της να μην είναι αρκετή η γλώσσα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Αντικείμενα της κατηγορίας αυτής με την ιδιότητα να εμφανίζουν λεπτομερειακή δομή κάτω από ένα ευρύ φάσμα κλιμάκων παρατήρησης και η οποία παραμένει κατά μέσο όρο όμοια με την αρχική, λέγονται μορφοκλασματικά (fractals), και η νέα γεωμετρική γλώσσα που τα περιγράφει μορφοκλασματική Γεωμετρία. Η ιδιότητά τους να διατηρούν την δομή τους κάτω από αλλαγή κλίμακας χαρακτηρίζεται σαν αυτοομοιότητα.

Εδώ οι επισκέπτες καλούνται να κατασκευάσουν μόνοι τους απλά μορφοκλασμα-τικά σύνολα και να επιβεβαιώσουν την ιδιότητα αυτοομοιότητας που τα διακρίνει.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό των μορφοκλασματικών είναι η κλασματική τους διάσταση. Η κλασματική διάσταση είναι πρακτικά ένα μέτρο της "πολυπλοκότητας" του μορφοκλασματικού και είναι ένας μη ακέραιος αριθμός. Ο αριθμός αυτός δε μπορεί να είναι μεγαλύτερος από την ευκλείδεια διάσταση του χώρου στον οποίο βρίσκεται το μορφοκλασματικό αντικείμενο.

Εδώ οι επισκέπτες εξοικειώνονται με την έννοια της κλασματικής διάστασης και μετράνε την κλασματική διάσταση ορισμένων απλών μορφοκλασματικών όπως του fractal του Sierpinski με απλές μεθόδους.

ΛΟΓΟΣ – ΑΝΑΛΟΓΙΑ - ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ



Στόχος αυτής της θεματικής ενότητας είναι ο προβληματισμός των μαθητών στον ορισμό της μαθηματικής έννοιας του λόγου και της αναλογίας καθώς και τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της. Οι επισκέπτες εισάγονται στην έννοια της χρυσής τομής

α) αλγεβρικά μέσω της παρατήρησης και καταμέτρησης των αριστερόστροφων και δεξιόστροφων ελίκων σε κουκουνάρια και ηλίανθους, και το σχηματισμό της σχετικής ακολουθίας Fibonacci

β) γεωμετρικά μέσω της παρατή-ρησης πινάκων και αρχιτεκτονημάτων με εμφανή την παρουσία της χρυσής τομής.

Κατασκευάζουν γεωμετρικά τη χρυσή τομή. Κατανοούν γιατί είναι άρρητος αριθμός και ανακαλύπτουν το συνεχές περιοδικό κλάσμα με το οποίο παριστάνεται, όντας ο πιο απλός άρρητος αριθμός. Γνωρίζουν και κατασκευάζουν το χρυσό τρίγωνο, το χρυσό ορθογώνιο, και το κανονικό πεντάγωνο. Ανακαλύπτουν τη χρήση της χρυσής τομής σε μια σειρά έργων τέχνης, εικαστικών, γλυπτών και αρχιτεκτονημάτων.


ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ, ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΜΟΤΙΒΑ



Στόχος της ενότητας αυτής είναι η ανάδειξη της θεμελιώδους έννοιας της συμμετρίας και των άλλων επίπεδων μετασχηματισμών. Ο κόσμος των μετάλλων, των φυτών και των ζώων εμφανίζει συμμετρίες διαφόρων τύπων. Τα φτερά της πεταλούδας, τα πέταλα των λουλουδιών παρουσιάζουν συμμετρία απλής μορφής (αμφίπλευρη, περιστροφική). Η φύση δεν αρκείται στο να δημιουργεί όμορφα απλά σχήματα αλλά παρουσιάζει και πολύπλοκες μορφές.

Τέτοιες δημιουργούνται από σύνθεση απλών συμμετριών (στροφή, μεταφορά κτλ). Τις μορφές αυτές που αποτελούνται από ελικοειδή ή σπειροειδή συμμετρικά συμπλέγματα, τις συναντάμε στο κουκουνάρι, στο ηλιοτρόπιο, στα κοχύλια κτλ. Εδώ οι επισκέπτες έχουν τη δυνατότητα να δουν αντικείμενα από το φυσικό και το ζωικό βασίλειο που παρουσιάζουν διάφορα είδη συμμετρίας. Έχουν ακόμα τη δυνατότητα να διαπιστώσουν και να συγκρίνουν τις συμμετρίες που παρουσιάζουν κανονικά στερεά σώματα, όπως ο κύβος και το τετράεδρο.

Πιο συγκεκριμένα καλούνται: Να διακρίνουν τα διαφορετικά είδη συμμετριών και μετασχηματισμών.

Να κατανοήσουν την μαθηματική έννοια της συμμετρίας και να διατυπώσουν ορισμούς.

Να αναγνωρίσουν συμμετρίες σε δοσμένα γεωμετρικά μοτίβα.

Να κατανοήσουν την έννοια του γεωμετρικού μοτίβου και να συμπληρώσουν – επεκτείνουν γεωμετρικά μοτίβα.

Να αναγνωρίσουν το ρόλο της συμμετρίας τόσο στην τέχνη, όσο και στα μαθηματικά.



Στόχος της ενότητας αυτής, είναι η ανάδειξη της σχέσης που υπάρχει ανάμεσα στον τρισδιάστατο κόσμο που μας περιβάλλει, και εκείνου που αποτυπώνεται στη δισδιάστατη επιφάνεια ενός ζωγραφικού πίνακα.

Η ανάδειξη της σχέσης αυτής είναι σημαντική αφού, ίσως όσο καμιά άλλη, έφερε τόσο κοντά την καλλιτεχνική δημιουργία με την μαθηματική αυστηρότητα, οδηγώντας αφενός μεν την Τέχνη της ζωγραφικής στην Αναγέννηση και αφετέρου τα Μαθηματικά στην ανάδειξη νέων γεωμετριών, διαφορετικών της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Η γεωμετρική προοπτική επινοήθηκε από τους ζωγράφους της Αναγέννησης στην προσπάθεια τους να αναπαραστήσουν στο δισδιάστατο χαρτί τον τρισδιάστατο χώρο.

Οι επισκέπτες εδώ καλούνται να εντοπίσουν το σημείο από το οποίο κοίταζε ο καλλιτέχνης στον κύβο για να τον σχεδιάσει , το αποτύπωμα του οποίου έχουμε σχεδιασμένο σε ένα διαφανές τετραγωνικό πλέγμα.

Επιπλέον , να επιλέξουν ένα από τα σχέδια του κύβου , το οποίο πρέπει να τοποθετήσουν σε κατάλληλη απόσταση ώστε να το δουν να συμπίπτει με το σχέδιο του κύβου που βρίσκεται πάνω στο τραπέζι.

Οι επισκέπτες καλούνται επιπλέον:

Να αναγνωρίσουν διαισθητικά μέσα από ένα πλήθος διαφορετικών ζωγραφικών πινάκων, εκείνους τους πίνακες που αναπαριστάνουν τη διάσταση του βάθους του φυσικού κόσμου, δηλαδή διαθέτουν προοπτική.

Να παρατηρήσουν τις ομοιότητες και τις διαφορές που υπάρχουν ανάμεσα στη δισδιάστατα εικονιζόμενη σκηνή ενός πίνακα και την τρισδιάστατη φυσική της πραγματικότητα.

Να αναζητήσουν την ύπαρξη κανόνων που οδηγούν στην απεικόνιση του τρισδιάστατου χώρου, πάνω στην δισδιάστατη επιφάνεια του ζωγραφικού καμβά.

Να προσπαθήσουν με βάση τους κανόνες που ανακάλυψαν, να κατασκευάσουν το δικό τους προοπτικό σχέδιο, ενός δοσμένου φυσικού αντικειμένου.


ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ

Περί τον 16ο αιώνα οι αρχές και οι Τεχνικές της προοπτικής απεικόνισης εφαρμόσθηκαν κατά τέτοιο τόπο ώστε να προκύπτουν εικόνες έντεχνα και έντονα αλλοιωμένες, παρασύροντας και εξαπατώντας τη οπτική αντίληψη.

Οι εικόνες που προέκυψαν ονομάσθηκαν αναμορφωτικές εικόνες (anamorphoses) και είτε είχαν χαρακτήρα προοπτικών παιχνιδιών είτε είχαν κάποιο χαρακτήρα μεταφοράς πολιτικών ή πνευματικών μηνυμάτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε τους “Πρεσβευτές” του Hans Holbein (1533).

Ποια η διαφορά του τυχαίου φαινομένου από το μη τυχαίο; Στην περίπτωση του τυχαίου υπάρχουν μαθηματικοί νόμοι που το ελέγχουν;

Το 16ο αιώνα γεννήθηκε η ιδέα ότι τα Μαθηματικά θα μπορούσαν να συμβάλλουν προς την κατεύθυνση αυτή. Ο λογισμός των πιθανοτήτων που εδώ και έναν αιώνα γνωρίζει μια άνευ προηγουμένου ανάπτυξη, συμβάλλει στην επίλυση προβλημάτων που απασχολούν τη Φυσική, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Κοινωνιολογία κλπ.

Αποτελεί δε, ένα από τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται ιδίως όταν επιδιώκεται η κατασκευή μοντέλων για πολύπλοκα και απρόβλεπτα γεγονότα.

Οι επισκέπτες εδώ έχουν τη δυνατότητα, μέσα από απλά πειράματα και παιχνίδια, να κατανοήσουν και να υπολογίσουν την πιθανότητα εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος.



Με βάση τις πληροφορίες που προκύπτουν από ένα πολύ μικρό αριθμό μετρήσεων, από ένα δείγμα κάποιου πληθυσμού, οι μέθοδοι της στατιστικής μας επιτρέπουν ν' αντλήσουμε πληροφορίες για ολόκληρο τον πληθυσμό.

Εδώ οι επισκέπτες καλούνται να προβούν σε εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού (πόσες είναι οι κίτρινες και πόσες οι πράσινες χάντρες σε ένα πληθυσμό 1000 συνολικά χαντρών μέσα σε κλειστό διαφανές δοχείο) ώστε να κατανοήσουν τι σημαίνει αξιοπιστία και τι αντιπροσωπευτικότητα δείγματος.

Σύμφωνα με το αιτιοκρατικό μοντέλο (Γαλιλαίος, Νεύτων, Laplace), αν είναι γνωστές οι αρχικές παράμετροι θέσης και ταχύτητας ενός φυσικού συστήματος, μπορεί να καθορισθεί μαθηματικά η χρονική του εξέλιξή του. Υπάρχουν όμως φαινόμενα για τα οποία τα αιτιοκρατικά μοντέλα ακόμα και αν είναι απλά, μπορούν να παρουσιάσουν απρόβλεπτη συμπεριφορά. Τα φαινόμενα αυτά ονομάστηκαν χαοτικά.

Τα χαοτικά φαινόμενα εμφανίζονται σε δυναμικά συστήματα που παρουσιάζουν πολύ μεγάλη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Μια πολύ μικρή μεταβολή στις αρχικές παραμέτρους θέσης και ταχύτητας προκαλεί στη συνέχεια συμπεριφορές εντελώς διαφορετικές. Ένα τέτοιο φαινόμενο είναι για παράδειγμα η καιρική κατάσταση για την οποία δεν μπορούμε να έχουμε ασφαλή πρόβλεψη πέραν κάποιων ημερών.

Εδώ οι επισκέπτες πειραματίζονται με δύο απλά φυσικά συστήματα που παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά α) το χαοτικό μπιλιάρδο και β) το χαοτικό εκκρεμές.

Ευθειογενής είναι μια επιφάνεια στην οποία σε κάθε σημείο διέρχεται μια τουλάχιστον ευθεία η οποία ανήκει στην επιφάνεια αυτή. Από την ετυμολογία της λέξης, ευθειογενής είναι μια επιφάνεια η οποία «γεννιέται» από μια ευθεία, τη «γενέτειρά» της.

Αν η γενέτειρα ευθεία μετατοπισθεί κατά συνεχή τρόπο έτσι ώστε να διαγράφει μία ή δύο γραμμές (που λέγονται οδηγοί), «δημιουργεί» την ευθειογενή επιφάνεια. Η κυλινδρική είναι ένα παράδειγμα τέτοιας επιφάνειας καθώς μπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται από τη συνεχή κίνηση μιας ευθείας που διαγράφει ένα κύκλο μετακινούμενη παράλληλα προς μια συγκεκριμένη ευθεία. Αν αντί κύκλου διαγράφει έλλειψη ονομάζεται ελλειπτικός κύλινδρος.

Η κωνική επιφάνεια επίσης είναι μια ευθειογενής επιφάνεια που μπορεί να θεωρηθεί ότι «παράγεται» από μια ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο ενώ συγχρόνως διαγράφει ένα κύκλο ή μια έλλειψη.

Οι μηχανικοί αξιοποιούν τις ευθειογενείς επιφάνειες στις κατασκευές τους. Εδώ οι επισκέπτες έχουν τη δυνατότητα να δουν ευθειογενείς επιφάνειες, να κατανοήσουν το πώς χρησιμοποιούνται στις κατασκευές και να προσπαθήσουν να τις περιγράψουν μαθηματικά.



ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

Α Γυμν.

Β Γυμν.

Γ Γυμν.

Α Λυκ.

Β Λυκ.

Γ Λυκ.

Το διασημότερο θεώρημα

V
V
V
V
V

Αναζήτηση μεγίστων και ελαχίστων. Σαπωνοειδείς επιφάνειες

V
V
V
V
V
V

Η δυωνυμική και η κανονική κατανομή - Το τρίγωνο του Galton

V
V
V

Μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες

V
V

Ο κόσμος των Fractals

V
V

Τα Μαθηματικά της Φύσης.Λόγος – αναλογία - Χρυσή τομή

V
V
V
V
V
V

Τα Μαθηματικά της Φύσης. Μετασχηματισμοί Συμμετρίες και Γεωμετρικά μοτίβα

V
V
V
V
V
V

Τέχνες και Μαθηματικά

V
V
V
V
V
V

Τύχη και Αιτιοκρατία. Εισαγωγή στην έννοια της Πιθανότητας

V
V
V
V
V
V

Εισαγωγή στη Στατιστική επιστήμη

V
V
V
V
V

Χαοτικά φαινόμενα

V
V

Ευθειογενείς επιφάνειες

V
V
V